Włodzimierz Gajda Wstęp
O tym, że komputer może być wspaniałym narzędziem dydaktycznym do nauczania geometrii nikogo chyba przekonywać nie trzeba. Już pierwsze próby rozwiązywania zadań geometrycznych na komputerze zaskakują zarówno uczniów jak i nauczyciela. Tworzenie dynamicznych konstrukcji czy wyznaczanie miejsc geometrycznych to dwie najciekawsze cechy programów wspomagających nauczanie geometrii. Od kilku lat na łamach czasopisma Komputer w Szkole pojawiają się artykuły przedstawiajęce rozwiązania zadań geometrycznych realizowane na lekcjach z wykorzystaniem programów Cabri bądź Geomlania. W artykule prezentujemy program C.a.R (ang. Compasses and Ruler - Cyrkiel i linijka). Program służy do tworzenia konstrukcji geometrycznych na płaszczyźnie przy użyciu cyrkla i linijki. C.a.R jest bezpłatny, zaś jego możliwości w połączeniu z prostotą obsługi sprawiają, że jest on doskonałym narzędziem do odkrywania geometrii.
Poniżej opiszemy szczegółowo trzy przykładowe konstrukcje prezentujące niemal wszystkie cechy programu. Pliki z zapisem konstrukcji i makrodefinicji są zawarte w spakowanym archiwum kon.zip. Zadanie 1 Skonstruować kwadrat o zadanym boku AB.
Rys. 1.Konstrukcja kwadratu o zadanym boku.
Konstrukcję tą rozpoczynamy od wykreślenia odcinka AB. Z menu głównego wybieramy opcję Figures/Segment i klikamy myszą w dwóch różnych punktach A, B. Mając dany odcinek AB kreślimy pierwszy bok kwadratu KL. W tym celu rysujemy najpierw dowolną prostą l, a następnie na niej odkładamy odcinek AB. Prostą l rysujemy wybierając opcję Figures/Line i klikając w dwóch dowolnych punktach K, L. Aby odłożyć odcink AB na prostej l kreślimy okrąg O o środku K i o promieniu równym odcinkowi AB: wybieramy opcję Figures/Circle(3) i klikamy kolejno punkty K, A, B (wybranie punktu jest sygnalizowane zmianą koloru). Następnie wyznaczamy punkty przecięcia P, P' prostej l i okręgu O: po wybraniu opcji Actions/Intersect klikamy kolejno prostą l i okrąg O. Jeśli teraz wybierzemy opcję Actions/Move, a następnie złapiemy myszą punkt A i pociągniemy, to nasz okrąg (a wraz z nim i punkty przecięcia) zmieni się. Następnie kreślimy prostą k prostopadłą do l i przechodzącą przez punkt K: wybieramy opcję Figures/Vertical Line i klikamy kolejno prostą l i punkt K. Wyznaczamy punkty przecięcia U, U' prostej k i okręgu O. Następnie prowadzimy prostą m równoległą do prostej l i przechodzącą przez punkt U: wybieramy opcję Figures/Parallel po czym klikamy prostą l i punkt U. Na prostej m odkładamy odcinek o końcu U i długości równej odcinkowi AB. W tym celu kreślimy okrąg S o środku w punkcie U i przechodzący przez punkt K: wybieramy opcję Figures/Circle i klikamy punkty U i K. Wyznaczając punkty przecięcia Z, Z' okręgu S i prostej m dostajemy ostatni wierzchołek kwadratu KPZU. Jeśli teraz przesuniemy punkt A lub B w taki sposób, by długość odcinka AB zmieniła się, to kwadrat KPZU również ulegnie zmianie. Opisana powyżej konstrukcja jest zapisana w pliku kwadrat.car. Oprócz funkcji geometrycznych program C.a.R oferuje duże możliwości modyfikowania cech graficznych konstrukcji. Po pierwsze ukrywamy wszystkie elementy wyznaczające kwadrat (proste i okręgi): wybieramy opcję Actions/Hide i klikamy kolejno wszystkie proste i okręgi oraz punkty Z', P', U' i L. Teraz na ekranie mamy tylko odcinek AB i wierzchołki kwadratu KPZU. Podpisujemy wierzchołki kwadratu: opcja Actions/Edit po wybraniu której, klikamy jeden z wierzchołków. Pojawi się okienko dialogowe służące do edycji cech figur: możemy ustalić m. in. nazwę figury (ang. Name) i zdecydować czy ma ona być podpisana (ang. Show Name) czy ukryta (ang. Hidden). Następnie cztery podpisane wierzchołki łączymy odcinkami. Wreszcie kolorujemy boki kwadratu: opcja Actions/Edit po czym wskazujemy bok. Na zakończenie dodajemy komentarz konstrukcji: Options/Edit Comment. Ilekroć kostrukcja zostanie otworzona (File/Open), za każdym razem na ekranie zobaczymy okno z komentarzem. W pliku kwadrat1.car zapisana jest pokolorowana konstrukcja kwadratu.
Rys. 1a. Ilustracja do zadania pierwszego po podpisaniu elementów konstrukcji i ukryciu części elementów.
Zadanie 2 Niech dany będzie dowolny okrąg, a na nim punkty A i S. Z punktu S prowadzimy średnicę okręgu SR. Punkt A' jest rzutem prostopadłym punktu A na średnicę SR. Wykreślić miejsce geometryczne punktów leżących na środku odcinka SA', gdy punkt S krąży po okręgu.
Rys. 2. Kardioida - krzywa wyznaczona jako miejsce geometryczne punktów.
Konstrukcję rozpoczynamy od nakreślenia okręgu i postawienia na nim dwóch dowolnych punktów A i S. Punkty postawione na figurze (tzn. na okręgu, odcinku, prostej lub półprostej) mogą być przesuwane jedynie po figurze. Do stawiania punktów na figurze służy opcja Figures/Point on Object. Po postwieniu punktów A i S kolejno rysujemy prostą wyznaczoną przez S oraz O (środek okręgu), wyznaczamy prostą prostopadłą do SO i przechodzącą przez A oraz wyznaczamy punkt przecięcia A' obu prostych. Następnie korzystając z opcji Figures/Middle Point wyznaczamy środek P odcinka SA'. Wskazujemy, że punk P ma zostawiać ślad: wybieramy opcję Actions/Track po czym klikamy punkt P, a następnie przesuwamy punkt S dokoła ogręgu. Opisana konstrukcja jest zapisana w pliku serce.car.
Zadanie 3 Skonstruować okrąg wpisany w trójkąt.
Rys. 3. Konstrukcja okręgu wpisanego w trójką.
Zadanie rozwiążemy wyznaczając punkt przecięcia O dwusiecznych kątów o wierzchołkach A i C. W tym celu kreślimy okrąg o środku w punkcie A i przechodzący przez punkt B. Okrąg przecina bok AC w punkcie P. Wyznaczamy środek X odcinka PB po czym prowadzimy półprostą wychodzącą z A i przechodzącą przez X. Dwusieczną AX definujemy jako makroinstrukcję. Danymi makroinstrukcji są trzy punkty A, B i C, zaś jej wynikiem - półprosta AX. Wybieramy opcję Macro Setup/Define Parameter, po czym klikamy wierzchołek kąta. Zostaniemy zapytani o podpowiedź jaka ma być skojarzona z pierwszym parametrem. Podajemy "Wskaż wierzchołek kąta.". Następnie klikamy punkt B - punkt wyznaczający promień okręgu. Niech podpowiedzią będzie: "Wskaż punkt wyznaczający promień okręgu". Wreszcie klikamy punkt C podając jako podpowiedź "Wskaż trzeci punkt.". Następnie definiujemy wynik konstrukcji: półprostą AX: Wybieramy opcję Macro Setup/Define Targets po czym klikamy półprostą AX. Definicję makroinstrukcji kończymy opcją Macro Setup/Complete Macro: musimy podać nazwę makroinstrukcji, np. dwusieczna. Uruchomienie makroinstrukcji polega na wybraniu opcji Run Macro/dwusieczna i kliknięciu punktów C, B oraz A (zauważmy podpowiedzi, pojawiające się w wierszu stanu!). Konstrukcję kończymy wyznaczając punkt O przecięcia dwusiecznych i rzutując go na jeden z boków. Makroinstrukcje zapisujemy wybierając Macro Setup/Save Macro. Uwaga: do jednego pliku możemy zapisać tylko jedną makroinstrukcję (w trakcie zapisywania pojawia się okno dialogowe umożliwiające dokonanie wyboru). Makroinstrukcje, podobnie jak same konstrukcje, mają swój komentarz (Run Macro/Macro Comment). W celu korzystania z makroinstrukcji należy je uprzednio otworzyć (Macro Setup/Load Macro). Przykładowa makroinstrukcja jest zapisana w pliku dwu.mac.
Podsumowanie
Lekcje prowadzone z wykorzystaniem programu C.a.R bardzo pobudzją aktywność uczniów i ich zainteresowanie zarówno geometrią jak i wykorzystaniem komputerów do nauki matematyki. Program C.a.R jest bezpłatny, oferuje duże możliwości, zaś jego interfejs jest na tyle prosty, że uczniowie mający wprawę w pracy w systemie Windows potrzebują na naukę zaledwie jednej czy dwóch godzin lekcyjnych. C.a.R jest dostępny w wersji Windows 3.1 oraz Windows 95. Niestety, wersja dla Windows 3.1 ma błędy (program wiesza się). Powyższy artykuł zosatał opublikowany w czasopiśmie Komputer w Szkole w numerze 2 w roku 1998. Literaturahttp://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/grothmann.html
http://www.gajdaw.pl
Krajewska, M.: "Odkrywanie twierdzenia Napoleona", Komputer w Szkole, nr 4, 1995. Pabich, B.: "Badanie trójkąta w Cabri i w Geomlandii", Komputer w Szkole, nr 6, 1995. Walat, A.: "Zaproszenie do GEOMLANDII", Komputer w Szkole, nr 1, 1995.